Fluid Notes I. Basic Concept

Basic Concept

克努森数（Knudsen Number）

: free path, : characteristic length

当时，可视为连续介质

在满足连续介质条件的空间区域内，若该区域上满足某种分布，且满足与测试函数 $𝕟$ 作用：

若该积分在上绝对可积，则决定了一个正则分布(Regular Distribution)

若该积分在上的所有紧集局部可积，则我们将称为分布的广义函数(Generalized Function)，它在分布域内被认为满足连续与可导，可被认为最小连续域

其分布导数定义为：

Def Function of velocity and density:
$𝕟 𝟚 𝕟$

按上述定理即可定义速度函数、密度函数在定义域内的统计连续与可导

One example is Dirac Function

描述在时刻经过空间中一点的质点的坐标

$$ \left{ \right. $$

描述某一质点从一确定起始点出发，经过时间其空间坐标的位置

The rate of Jacobian determination decides divergence of velocity

定义速度的散度为空间体积变化速率

定义流映射(Flow Map)

$𝕟 𝕟$

反映拉格朗日观点和欧拉观点的映射关系

作空间上某一分布函数的积分域变换：

考虑体积分：

初始时刻体积变化速率：

任意时刻体积变化速率：

全导数（物质导数Material Derivative）

拉格朗日观点下的变化率等于欧拉观点下的变化率加上随体导数

雷诺输运定理（Reynolds Transport Theorem）

证明如下：
$𝕦$

雷诺输运定理下的三大守恒方程：

质量守恒（连续性方程）

动量守恒（牛顿第二定律）

能量守恒（热力学第一定律）